Matemática Discreta: ha visto un gran número de problemas difíciles de resolver. En teoría de grafos, mucha de la investigación realizada en sus inicios fue motivada por intentos para probar el teorema de los cuatro colores, el cual fue probado más de cien años después de su inicial descripción.
En lógica, el segundo problema de la lista de problemas abiertos de David Hilbert, era probar que los axiomas de la aritmética son consistentes. El segundo teorema de Gödel de la incompletitud probó en 1931 que esto no es posible, por lo menos dentro de la aritmética en sí. El décimo problema de Hilbert era determinar si un polinomio diofántica con coeficientes enteros dado tiene una solución entera. En 1970, Yuri Matiyasevich probó que esto es imposible de hacer.
La necesidad de burlar códigos Alemanes en la Segunda Guerra Mundial dio paso a avances en la cartografía y la ciencia computacional teórica, con el primer computador electrónico, digital y programable desarrollado en Inglaterra. Al mismo tiempo, requerimientos militares motivaron avances en la investigación de operaciones. La Guerra Fría tuvo significante en la criptografía, man teniéndola vigente, realizándose avances en la criptografía asimétrica.
Actualmente, uno de los problemas abiertos más famosos en la teoría de la informática es el problema de las clases de complejidad "P = NP". El Clay Mathematics Instituye ha ofrecido un premio de un millón de dólares para la primera demostración correcta, junto con premios para 6 problemas más.
Las Matemáticas Discretas: es una área de las matemáticas encargadas de el estudio de los conjuntos discretos: finitos o infinitos numerables. Las matemáticas discretas estudian estructuras cuyos elementos pueden contarse uno por uno separadamente.Lo discreto es lo finito o lo que, si no es finito, presenta el aspecto de los números naturales, objetos bien separados entre sí, lo continuo es lo no finito, lo infinitesimal mente próximo, como los números reales, y de ahí el concepto de límite y las ideas que de dicho concepto se derivan, son usadas en donde los objetos son contados
La clave en matemáticas discretas es que no es posible manejar las ideas de proximidad o límite y suavidad en las curvas, como se puede en el cálculo. Por ejemplo, en matemáticas discretas una incógnita puede ser 2 ó 3, pero nunca se aproximará a 3 por la izquierda con 2.9, 2.99, 2.999, etc. Las gráficas en matemáticas discretas vienen dadas por un conjunto finito de puntos que se pueden contar por separado; es decir, sus variables son discretas o digitales, mientras que las gráficas en cálculo son trazos continuos de rectas o curvas; es decir, sus variables son continuas o analógicas.
