DEFINICIÓN DE PERMUTACION CON REPETICION

Las permutaciones con repetición de  elementos en las que el primer elemento se repite veces, el segundo  veces, ... y el último se repite  veces, son los distintos grupos de elementos que se pueden hacer de forma que en cada grupo, cada elemento aparezca el número de veces indicado. Además, dos grupos se diferencian únicamente en el orden de la colocación. Se representa por .

Para saber cuántas permutaciones con repetición de  elementos, en las que el primer elemento se repite  veces, el segundo  veces, ... y el último se repite  veces, viene dado por la siguiente fórmula:

Para entenderlo mejor, consideremos el siguiente ejemplo:Ejemplo

Queremos saber cuantas números de cinco cifras hay en las que el 2 aparezca una vez, el 7 dos veces y el 9 dos veces también. En este caso se tiene: ,  y .

Algunas posibilidades son: ... pero hay muchas más, y para contarlas todas se podría tardar mucho tiempo.

fuente consultada:

https://www.sangakoo.com/es/temas/permutaciones-con-repeticion

¿Qué son? Permutaciones con repetición de n elementos en las que el primer elemento se repite n1 veces, el segundo se repite n2 veces ... y el último se repite  nk veces son los distintos grupos de n elementos que se pueden hacer de forma que en cada grupo, cada elemento aparezca el número de veces indicado y que dos grupos se diferencian únicamente en el orden de colocación. Se representa por Pnn1,n2,...,nk.

¿Cómo se forman?. Vamos a hacerlo con un ejemplo. Construir todos los números de seis cifras posibles utilizando dos veces el número uno y cuatro veces el número dos.

Para hacerlo de una forma ordenada vamos a utilizar el diagrama de árbol como se hace en la siguiente escena.

¿Cuántas hay?. Hemos calculado el número de permutaciones con repetición de seis elementos en las que el primer elemento se repite dos veces y el segundo se repite cuatro veces: P62,4 . Si el elemento que se repite dos veces fuera distinto, obtendríamos a partir de cada permutación, 2! permutaciones distintas. De la misma forma si el elemento que se repite cuatro veces fuera distinto, obtendríamos también 4! permutaciones distintas, obteniendo de esta forma todas las permutaciones posibles con seis elementos distintos, por tanto:

Esta fórmula se puede generalizar a la fórmula general que nos permitirá calcular el número de permutaciones con repetición en cualquier caso.

La siguiente escena se puede utilizar para calcular el número de permutaciones con repetición en los distintos casos que se pueden presentar.

Con esta otra escena se pueden construir las permutaciones con repetición hasta de cinco elementos en todos los casos posibles de repeticiones.

En esta última escena puedes realizar algunos ejercicios de aplicación de permutaciones con repetición.

Actividad 1.      Calcula:      a)  PR105,3,2          b)  PR126,6          c)  PR82,2,2,2          d)  PR104,3,2,1 Actividad 2.      a) Con los elementos del conjunto A={4, 7}, construir todas las permutaciones con repetición en las que el primer elemento se repite tres veces y el segundo tres veces.      b) Con los elementos del conjunto A={a, b}, construir todas las permutaciones con repetición en las que el primer elemento se repite tres veces y el segundo dos veces. Actividad 3.      Una persona intenta recordar una clave de seis letras que ha olvidado, aunque recuerda que estaba formada utilizando dos veces cada una de las iniciales de su nombre "abc". ¿Cuántas posibilidades tiene? Actividad 4.      ¿Se puede resolver cualquier ejercicio de permutaciones con repetición utilizando el principio de multiplicación? FUENTE CONSULTADA: http://recursostic.educacion.es/descartes/web/materiales_didacticos/Combinatoria/permutacionescon.htm

definiciones de combinaciones

En matemáticas, una permutación es la variación del orden o de la disposición de los elementos de un conjunto ordenado o una tupla sin elementos repetidos.

Por ejemplo, en el conjunto {1,2,3}, cada ordenación posible de sus elementos, sin repetirlos, es una permutación. Existe un total de 6 permutaciones para conjuntos de 3 elementos, en este caso: "1,2,3", "1,3,2", "2,1,3", "2,3,1", "3,1,2" y "3,2,1".

La definición intuitiva de permutación, como ordenamientos o arreglos de los elementos de un conjunto se formaliza con el uso del lenguaje de funciones matemáticas.

Una permutación de un conjunto X es una función biyectiva de dicho conjunto en sí mismo.

Ejemplo 

Por ejemplo, la asignación biyectiva dada por

• 1 → 1
• 2 
• 3 → 3
• Para ilustrar la definición, retomemos el ejemplo descrito en la introducción. En el ejemplo, X={1, 2, 3}.
• Entonces, cada correspondencia uno a uno entre el conjunto {1, 2, 3} a sí mismo equivale a una forma de ordenar los elementosde permutación considerada como función ..→ 2

puede hacerse corresponder al ordenamiento "1, 2, 3".

Por otro lado, la asignación biyectiva dada por

• 1 → 3
• 2 → 2
• 3 → 1

puede hacerse corresponder al ordenamiento "3, 2, 1".

En la definición de permutación, no se establece condición alguna sobre X, el cual puede incluso ser infinito. Sin embargo, es común considerar únicamente el caso en que X es un conjunto finito al estudiar permutaciones.

En combinatoria[editar]

La combinatoria trata del número de diferentes maneras que existen de considerar conjuntos formados a partir de elementos de un conjunto dado, respetando ciertas reglas, como el tamaño, el orden, la repetición, la partición. Así un problema combinatorio consiste usualmente en establecer una regla sobre cómo deben ser las agrupaciones y determinar cuántas existen que cumplan dicha regla. Básicamente, tres asuntos: permutaciones, combinaciones y variaciones.

Un tipo importante de esas agrupaciones son las llamadas permutaciones. Dada una n-tupla ordenada de los elementos de un conjunto, el número de permutaciones es el número de n-tuplas ordenadas posibles.

Fórmula del número de permutaciones[editar]

Dado un conjunto finito ${\displaystyle A\,\!}$ de ${\displaystyle n\,\!}$ elementos, el número de todas sus permutaciones es igual a factorial de n:
.

Demostración: Dado que hay ${\displaystyle n\,\!}$ formas de escoger el primer elemento y, una vez escogido éste, sólo tenemos  formas de escoger el segundo elemento, y así sucesivamente, vemos que cuando llegamos al elemento k-ésimo sólo tenemos  posibles elementos para escoger, lo que nos lleva a que tenemos ${\displaystyle n(n-1)(n-2)\cdots 2\cdot 1\,\!}$ formas de ordenar el conjunto, justamente lo que enunciamos anteriormente.

Ejemplo: sea el conjunto A={1,2,3} en este caso hay 6 permutaciones, en forma compacta: 123, 132, 213, 231, 312, 321. En álgebra, para estudiar los grupos simétricos se presentan entre paréntesis y en dos filas, en la primera siempre aparece 1 2 3.

Una variante de lo mismo, si se va a formar un comité que involucra presidente, tesorero y secretario, habiendo tres candidatos a, b, c ; cuando se elige por sorteo los cargos sucesivamente, hay seis posibilidades u ordenaciones: abc, acb, bca, bac, cab, cba.

FUENTE CONSULTADA:

https://es.wikipedia.org/wiki/Permutacion

DEFINICIONES DE COMBINATORIA

La Combinatoria es la parte de las Matemáticas que estudia las diversas formas de realizar agrupaciones con los elementos de un conjunto, formándolas y calculando su número. 

Existen distintas formas de realizar estas agrupaciones, según se repitan los elementos o no, según se puedan tomar todos los elementos de que disponemos o no y si influye o no el orden de colocación de los elementos:

 • Variaciones sin repetición.

 • Variaciones con repetición. 

• Permutaciones sin repetición. 

• Permutaciones con repetición. 

• Combinaciones sin repetición.

 • Combinaciones con repetición.

2.- - Combinaciones sin repetición Definición: Dado un conjunto de n elementos distinguibles, se llama combinación sin repetición de p elementos, con p < n, elegidos entre los n, a cualquier subconjunto de p elementos distintos del conjunto. Notación: El n´umero de combinaciones sin repetición de p elementos elegidos entre los n se nota habitualmente C p n . Valor: C p n = n p . Ejemplo: Un estudiante debe responder a seis de las diez preguntas de las que consta un examen, ¿entre cuantos grupos de preguntas distintas puede elegir? Solución: Se trata de determinar el n´umero de grupos distintos de seis preguntas escogidas del conjunto de las diez, sabiendo que dos grupos con las mismas preguntas, a´un en distinto orden, coinciden

3. - Combinaciones con repetición Definición: Dado un conjunto de n elementos distinguibles, se llama combinación con repetición de p elementos escogidos entre los n a cualquier colección de p elementos del conjunto, con repeticiones eventuales de algunos de ellos. Notación: El n´umero de combinaciones con repetición de p elementos elegidos entre los n se nota habitualmente CRp n . Valor: CRp n = n − 1 + p p . Ejemplo: ¿De cu´antas formas pueden elegirse simultáneamente tres bolas de una urna en la que hay al menos tres bolas bolas blancas y tres negras indistinguibles? Solución: Cada grupo es una disposici´on no ordenada de tres colores formada por los colores blanco y negro con repetici´on de alguno de ellos. Por tanto, se trata de determinar el n´umero de grupos de tres elementos no ordenados del conjunto {b, n}.

4.1 -Principios básicos de recuento En esta primera sección del tema daremos la definición formal de cardinal de un conjunto y los principios básicos que se utilizan para computar este cardinal para conjuntos concretos

4.1.1 Cardinal de un conjunto Contar los elementos de un conjunto A es establecer una biyeccion entre A y un conjunto finito {1, . . . , n}. Definición 4.1.1. Diremos que el cardinal de un conjunto A es n si se puede establecer una biyeccion f : {1, . . . , n} −→ A. Se denota |A| = n. Se define |∅| = 0. Se dice que A 6= ∅ es infinito si no existe ninguna biyeccion f : {1, . . . , n} −→ A para ningún n ∈ N. 4.1.2 Principio de la unión Si se puede escoger un elemento de un conjunto A de m formas distintas, y un elemento de un conjunto B de n formas distintas, entonces es posible escoger un elemento de A o de B de m + n formas distintas (si A y B son disjuntos). Teorema 4.1.2 (Principio de la unión). Si A1, A2, . . . , An son conjuntos finitos disjuntos dos a dos se tiene que |A1 ∪ A2 ∪ · · · ∪ An| = |A1| + |A2| + · · · + |An|. Ejemplo 4.1.3. El numero de palabras del diccionario es igual al n´umero de palabras que empiezan por a m´as el n´umero de palabras que empiezan por b m´as . . . m´as el n´umero de palabras que empiezan por z. 4.1.3 Principio del complementario Teorema 4.1.4 (Principio del complementario). Si B es un conjunto finito y A es un subconjunto de B se tiene que |B \ A| = |B| − |A|. 4.1.4 Principio del producto Si se puede escoger un elemento de un conjunto A de m formas distintas, y un elemento de un conjunto B de n formas distintas, entonces es posible escoger un elemento de A y otro de B de mn formas distintas. Teorema 4.1.5 (Principio del producto). Si A1, A2, . . . , An son conjuntos finitos no vacios se tiene que |A1 × A2 × · · · × An| = |A1| · |A2| · · · |An|. Ejemplo 4.1.6. El n´umero de palabras posibles de cuatro letras formadas solo por vocales es 5 · 5 · 5 · 5.

 fuentes consultadas:

http://www.dma.fi.upm.es/docencia/grado_ii/matemática_discreta_1/resumen/técnicas_contar.pdf.

http://www.dma.fi.upm.es/docencia/grado_ii/matemática_discreta_1/resumen/técnicas_contar.pdf