DEFINICIÓN DE PERMUTACION CON REPETICION

Las permutaciones con repetición de  elementos en las que el primer elemento se repite veces, el segundo  veces, ... y el último se repite  veces, son los distintos grupos de elementos que se pueden hacer de forma que en cada grupo, cada elemento aparezca el número de veces indicado. Además, dos grupos se diferencian únicamente en el orden de la colocación. Se representa por .

Para saber cuántas permutaciones con repetición de  elementos, en las que el primer elemento se repite  veces, el segundo  veces, ... y el último se repite  veces, viene dado por la siguiente fórmula:

Para entenderlo mejor, consideremos el siguiente ejemplo:Ejemplo

Queremos saber cuantas números de cinco cifras hay en las que el 2 aparezca una vez, el 7 dos veces y el 9 dos veces también. En este caso se tiene: ,  y .

Algunas posibilidades son: ... pero hay muchas más, y para contarlas todas se podría tardar mucho tiempo.

fuente consultada:

https://www.sangakoo.com/es/temas/permutaciones-con-repeticion

¿Qué son? Permutaciones con repetición de n elementos en las que el primer elemento se repite n1 veces, el segundo se repite n2 veces ... y el último se repite  nk veces son los distintos grupos de n elementos que se pueden hacer de forma que en cada grupo, cada elemento aparezca el número de veces indicado y que dos grupos se diferencian únicamente en el orden de colocación. Se representa por Pnn1,n2,...,nk.

¿Cómo se forman?. Vamos a hacerlo con un ejemplo. Construir todos los números de seis cifras posibles utilizando dos veces el número uno y cuatro veces el número dos.

Para hacerlo de una forma ordenada vamos a utilizar el diagrama de árbol como se hace en la siguiente escena.

¿Cuántas hay?. Hemos calculado el número de permutaciones con repetición de seis elementos en las que el primer elemento se repite dos veces y el segundo se repite cuatro veces: P62,4 . Si el elemento que se repite dos veces fuera distinto, obtendríamos a partir de cada permutación, 2! permutaciones distintas. De la misma forma si el elemento que se repite cuatro veces fuera distinto, obtendríamos también 4! permutaciones distintas, obteniendo de esta forma todas las permutaciones posibles con seis elementos distintos, por tanto:

Esta fórmula se puede generalizar a la fórmula general que nos permitirá calcular el número de permutaciones con repetición en cualquier caso.

La siguiente escena se puede utilizar para calcular el número de permutaciones con repetición en los distintos casos que se pueden presentar.

Con esta otra escena se pueden construir las permutaciones con repetición hasta de cinco elementos en todos los casos posibles de repeticiones.

En esta última escena puedes realizar algunos ejercicios de aplicación de permutaciones con repetición.

Actividad 1.      Calcula:      a)  PR105,3,2          b)  PR126,6          c)  PR82,2,2,2          d)  PR104,3,2,1 Actividad 2.      a) Con los elementos del conjunto A={4, 7}, construir todas las permutaciones con repetición en las que el primer elemento se repite tres veces y el segundo tres veces.      b) Con los elementos del conjunto A={a, b}, construir todas las permutaciones con repetición en las que el primer elemento se repite tres veces y el segundo dos veces. Actividad 3.      Una persona intenta recordar una clave de seis letras que ha olvidado, aunque recuerda que estaba formada utilizando dos veces cada una de las iniciales de su nombre "abc". ¿Cuántas posibilidades tiene? Actividad 4.      ¿Se puede resolver cualquier ejercicio de permutaciones con repetición utilizando el principio de multiplicación? FUENTE CONSULTADA: http://recursostic.educacion.es/descartes/web/materiales_didacticos/Combinatoria/permutacionescon.htm