ejercicios

COMBINACIÓN:

En una clase de 35 alumnos se quiere elegir un comité formado por tres alumnos. ¿Cuántos comités diferentes se pueden formar?

No entran todos los elementos.

No importa el orden: Juan, Ana.

No se repiten los elementos.

¿De cuántas formas pueden mezclarse los siete colores del arco iris tomándolos de tres en tres?

No entran todos los elementos.

No importa el orden.

No se repiten los elementos.

A una reunión asisten 10 personas y se intercambian saludos entre todos. ¿Cuántos saludos se han intercambiado?

No entran todos los elementos.

No importa el orden.

No se repiten los elementos.

En una bodega hay en un cinco tipos diferentes de botellas. ¿De cuántas formas se pueden elegir cuatro botellas?

No entran todos los elementos. Sólo elije 4..

No importa el orden. Da igual que elija 2 botellas de anís y 2 de ron, que 2 de ron y 2 de anís.

Sí se repiten los elementos. Puede elegir más de una botella del mismo tipo.

¿Cuántas apuestas de Lotería Primitiva de una columna han de rellenarse para asegurarse el acierto de los seis resultados, de 49?

No entran todos los elementos.

No importa el orden.

No se repiten los elementos.

PERMUTACION:

Ejercicios resueltos de permutaciones 1

• E
• 1
• 2
• 3
• 4
• 5
• 6
• 7
• 8
• 9
• 10
• 11
• 12

Ejercicio nº 1

¿Cuántos números de 5 cifras diferentes se puede formar con los dígitos: 1, 2, 3, 4, 5.?

m = 5     n = 5

Sí entran todos los elementos. De 5 dígitos entran sólo 3.

Sí importa el orden. Son números distintos el 123, 231, 321.

No se repiten los elementos. El enunciado nos pide que las cifras sean diferentes.

¿De cuántas formas distintas pueden sentarse ocho personas en una fila de butacas?

Sí entran todos los elementos. Tienen que sentarse las 8 personas.

Sí importa el orden.

No se repiten los elementos. Una persona no se puede repetir.

¿De cuántas formas distintas pueden sentarse ocho personas alrededor de una mesa redonda?

Con las cifras 2, 2, 2, 3, 3, 3, 3, 4, 4; ¿cuántos números de nueve cifras se pueden formar?

m = 9     a = 3     b = 4     c = 2     a + b + c = 9

Sí entran todos los elementos.

Sí importa el orden.

Sí se repiten los elementos.

Con las letras de la palabra libro, ¿cuántas ordenaciones distintas se pueden hacer que empiecen por vocal?

La palabra empieza por i u o seguida de las 4 letras restantes tomadas de 4 en 4.

Sí entran todos los elementos.

Sí importa el orden.

No se repiten los elementos.

COMBINATORIA:

¿De cuántas formas diferentes se pueden cubrir los puestos de presidente, vicepresidente y tesorero de un club de fútbol sabiendo que hay 12 posibles candidatos?

No entran todos los elementos.

Sí importa el orden.

No se repiten los elementos.

Con las letras de la palabra libro, ¿cuántas ordenaciones distintas se pueden hacer que empiecen por vocal?

La palabra empieza por i u o seguida de las 4 letras restantes tomadas de 4 en 4.

Sí entran todos los elementos.

Sí importa el orden.

No se repiten los elementos.

¿De cuántas formas pueden mezclarse los siete colores del arco iris tomándolos de tres en tres?

No entran todos los elementos.

No importa el orden.

No se repiten los elementos.

¿Cuántos números de cinco cifras distintas se pueden formar con las cifras impares? ¿Cuántos de ellos son mayores de 70.000?

Sí entran todos los elementos.

Sí importa el orden.

No se repiten los elementos.

Si es impar sólo puede empezar por 7 u 9.

¿De cuántos partidos consta una liguilla formada por cuatro equipos?

No entran todos los elementos.

Sí importa el orden.

No se repiten los elementos.

permutacion

Algunas situaciones de probabilidad implican múltiples eventos. Cuando uno de los eventos afecta a otros, se llaman eventos dependientes. Por ejemplo, cuando objetos son escogidos de una lista o grupo y no son devueltos, la primera elección reduce las opciones para futuras elecciones.

Existen dos maneras de ordenar o combinar resultados de eventos dependientes. Las permutaciones son agrupaciones en las que importa el orden de los objetos. Las combinaciones son agrupaciones en las que el contenido importa pero el orden no.

  

Dos eventos son dependientes si el estado original de la situación cambia de un evento al otro, y esto altera la probabilidad del segundo evento.

Los eventos dependientes ocurren cuando una acción elimina un resultado posible, y el resultado no es devuelto antes de que suceda una segunda acción. A esto se le llama elección sin devolución.

Una forma de saber si eventos son dependientes o independientes es encontrar si un resultado eliminado es devuelto (haciéndolos independientes) o no devuelto (haciéndolos dependientes). Aquí hay algunos ejemplos.

Situación	Eventos	Por qué los eventos son dependientes
En una fiesta, sacas cuatro papelitos con nombres de invitados para formar un equipo de 4 personas. ¿Cuál es la probabilidad de que John, Perna, Tosho, y Lee quedarán en el mismo equipo?	Sacar el nombre de John Sacar el nombre de Perna Sacar el nombre de Tosho Sacar el nombre de Lee	Una vez que sacas un nombre, no lo pones de nuevo en el conjunto de nombres de donde lo sacaste. Cada vez, hay un nombre menos en el espacio muestral, y (si el evento continúa ocurriendo) un nombre menos en el espacio de eventos. La probabilidad de que un evento suceda cambia con cada nueva sacada.
Sacas una canica de una bolsa con 2 canicas rojas, 2 blancas, y una verde. Te quedas la canica y luego sacas otra. ¿Cuál es la probabilidad de sacar una canica roja y luego sacar la canica verde?	La primera sacada es roja. La segunda sacada es verde.	Estos eventos son dependientes porque no devuelves la primera canica que sacaste. Quedan menos canicas en el espacio muestral, por lo que la probabilidad de sacar una canica verde es distinta para la segunda sacada que para la primera.
Sacas dos cartas de un mazo estándar de 52 cartas. (En un mazo estándar, cada carta tiene un palo — corazones, picas, diamantes, o tréboles — y un rango — As, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, Jota, Reina y Rey. ¿Cuál es la probabilidad de que ambas cartas sean 2s?	Una carta es un 2. Otra carta es un 2.	Como se sacan 2 cartas, la probabilidad de que le primera sea 2 es diferente de la probabilidad de que la segunda sea 2. (Menos cartas de donde escoger resulta en un espacio muestral más pequeño.)

Beth tiene 10 pares de calcetines: 2 negros, 2 cafés, 3 blancos, 1 rojo, 1 azul, y 1 verde. Hoy quiere usar el par blanco, pero tiene prisa para llegar al trabajo, por lo que agarra un para al azar. Si no es blanco, lo tirar a la cama y saca otro. Elige el enunciado que mejor describe esta situación. A) Los eventos son dependientes, porque Beth no elimina ninguno de los resultados. B) Los eventos son dependientes, porque el resultado eliminado es devuelto después de cada intento. C) Los eventos son dependientes, porque un resultado es eliminado en cada intento y no es devuelto.

sistemas numericos 3

En aritmética, álgebra y análisis matemático, un sistema numérico es un conjunto provisto de dos operaciones que verifican ciertas condiciones relacionadas con las propiedades conmutativa, asociativa y distributiva. El conjunto de los números enteros, los racionales o los reales son ejemplos de sistemas numéricos, aunque los matemáticos han creado muchos otros sistemas numéricos más abstractos para diversos fines. Además debe tenerse en cuenta que dado un sistema numérico existen diversas formas de representarlo, por ejemplo en los enteros podemos usar la representación decimal, la binaria, la hexadecimal, etc. En los racionales podemos optar por representarlos de manera decimal o como fracción de enteros, etc.

Los sistemas numéricos se caracterizan por tener una estructura algebraica (monoide, anillo, cuerpo, álgebra sobre un cuerpo), satisfacer propiedades de orden(orden total, buen orden) y propiedades topológicas y analíticas (densidad, metrizabilidad, completitud) adicionales.

Convencionalmente diversos conjuntos dotados de "adición" y "multiplicación" se llaman sistemas numéricos. Entre estos conjuntos están los números naturales, los enteros, los racionales, los reales y los complejos, aunque existen otros que generalizan a algunos de los anteriores. Aunque no existe una definición formal de sistema numérico, todos los conjuntos dotados de operaciones binarias que se cuentan convencionalmente entre los sistemas numéricos tienen propiedades comunes.

En todos los sistemas numéricos convencionales hay definidas dos operaciones binarias asociativas denominadas adición y multiplicación, y además se cumple que la multiplicación es distributiva con respecto a la adición. La adición es siempre conmutativa, aunque en algunos sistemas numéricos la multiplicación no siempre es conmutativa¹​): Para a, b y c elementos cualesquiera de ${\displaystyle \mathbb {S} }$:

• Propiedad conmutativa de la adición: ${\displaystyle a+b=b+a}$
• Propiedad asociativa de la adición: ${\displaystyle (a+b)+c=a+(b+c)}$
• Propiedad asociativa de la multiplicación: ${\displaystyle (a\cdot b)\cdot c=a\cdot (b\cdot c)}$
• Propiedad distributiva de la multiplicación sobre la adición: ${\displaystyle a\cdot (b+c)=a\cdot b+a\cdot c}$

La adición y la multiplicación no necesariamente deben ser las de la aritmética elemental.

Más formalmente un sistema numérico se caracterizan por una séxtupla ${\displaystyle \scriptstyle (\mathbb {S} ,+,\cdot ,{\mathcal {A}},{\mathcal {O}},{\mathcal {T}})}$, donde:

${\displaystyle \scriptstyle {\mathcal {A}}}$ es un conjunto de axiomas que definen las propiedades algebraicas de las operaciones y conjeturan la posible existencia de cierto tipo de elementos (opuestos, inversos, etc.)

${\displaystyle \scriptstyle {\mathcal {O}}}$ es un conjunto de axiomas referidos a la teoría del orden, que dan cuenta de ciertas propiedades asociadas a las relaciones existentes entre los elementos.

${\displaystyle \scriptstyle {\mathcal {T}}}$ es un conjunto de axiomas topológicos, que posiblemente incluyen la definición de ciertas funciones (distancia) y propiedades (completitud, densidad, etc.)

Sistemas numéricos con estructura de anillo[editar]

• Los números enteros ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ son uno de los ejemplos más sencillos de anillos.
• Los números enteros módulo n (donde ${\displaystyle n\neq p^{q}}$, con p un número entero primo).
• Los enteros gaussianos ${\displaystyle \mathbb {Z} +i\mathbb {Z} }$

Sistemas numéricos con estructura de cuerpo[editar]

• Los números racionales (${\displaystyle \mathbb {Q} }$), mínimo cuerpo que contiene al anillo (${\displaystyle \mathbb {Z} }$).
• Los números algebraicos (${\displaystyle \mathbb {A} }$) son una extensión algebraica de los número racionales (${\displaystyle \mathbb {Q} }$).
• Los números reales (${\displaystyle \mathbb {R} }$), mínimo cuerpo completo que contiene a ${\displaystyle \mathbb {Q} }$
• Los números complejos (${\displaystyle \mathbb {C} }$), mínimo cuerpo algebraicamente cerrado que contiene a ${\displaystyle \mathbb {R} }$
• Los números enteros módulo p (con p primo, (${\displaystyle \mathbb {Z} _{p}}$) o aritmética modular de módulo p.
• Los números hiperreales (${\displaystyle {}^{*}\mathbb {R} }$)son una extensión de los números reales (${\displaystyle \mathbb {R} }$).
• Los números superreales son una generalización de los números hiperreales.
• Los números surreales son el cuerpo más grande posible que contiene a los reales y siguen siendo un cuerpo ordenado.

Sistemas numéricos con estructura de álgebra[editar]

• Los números cuaterniónicos
• Los números octoniónicos
• Los números sedeniónicos

Todos estos conjuntos son ejemplos de números hipercomplejos.

REGLAS DE MODELO RELACIONADAS DE COOD

Las 12 reglas de Codd son un sistema de reglas (numeradas del 0 al 12) propuestas por Edgar F. Codd, del modelo relacional para las bases de datos, diseñado para definir qué requiere un sistema de administración de base de datos.¹​

Codd se percató de que existían bases de datos en el mercado las cuales decían ser relacionales, pero lo único que hacían era guardar la información en las tablas, sin estar estas tablas literalmente normalizadas; entonces éste publicó 13 reglas que un verdadero sistema relacional debería tener aunque en la práctica algunas de ellas son difíciles de realizar. Un sistema podrá considerarse "más relacional" cuanto más siga estas reglas.

• Regla 0: Regla de fundación Cualquier sistema que se proclame como relacional, debe ser capaz de gestionar sus bases de datos enteramente mediante sus capacidades relacionales.

• Regla 1: Regla de la información. Toda la información en la base de datos es representada unidireccionalmente por valores en posiciones de las columnas dentro de filas de tablas. Toda la información en una base de datos relacional se representa explícitamente en el nivel Lógico exactamente de una manera: con valores en tablas.

• Regla 2: Regla del acceso garantizado. Todos los datos deben ser accesibles sin ambigüedad. Esta regla es esencialmente una nueva exposición del requisito fundamental para las llaves primarias. Dice que cada valor escalar individual en la base de datos debe ser lógicamente direccionable especificando el nombre de la tabla, la columna que lo contiene y la llave primaria.

• Regla 3: Regla del tratamiento sistemático de valores nulos. El sistema de gestión de base de datos debe permitir que haya campos nulos. Debe tener una representación de la "información que falta y de la información inaplicable" que sea sistemática y distinta de todos los valores regulares.

• Regla 4: Catálogo dinámico en línea basado en el modelo relacional. El sistema debe soportar un catálogo en línea, el catálogo relacional, que da acceso a la estructura de la base de datos y que debe ser accesible a los usuarios autorizados.

• Regla 5: Regla comprensiva del sublenguaje de los datos. El sistema debe soportar por lo menos un lenguaje relacional que:
  1. Tenga una sintaxis lineal.
  2. Puede ser utilizado de manera interactiva.
  3. Tenga soporte de operaciones de definición de datos, operaciones de manipulación de datos (actualización así como la recuperación), de control de la seguridad e integridad y operaciones de administración de transacciones.

• Regla 6: Regla de actualización de vistas. Todas las vistas que son teóricamente actualizables deben poder ser actualizadas por el sistema.

• Regla 7: Alto nivel de inserción, actualización y borrado. El sistema debe permitir la manipulación de alto nivel en los datos, es decir, sobre conjuntos de tuplas. Esto significa que los datos no solo se pueden recuperar de una base de datos relacional a partir de filas múltiples y/o de tablas múltiples, sino que también pueden realizarse inserciones, actualización y borrados sobre varias tuplas y/o tablas al mismo tiempo y no sólo sobre registros individuales.

• Regla 8: Independencia física de los datos. Los programas de aplicación y actividades del terminal permanecen inalterados a nivel lógico aunque realicen cambios en las representaciones de almacenamiento o métodos de acceso.

• Regla 9: Independencia lógica de los datos. Cualquier cambio a nivel físico que preserve la información deberá mantener los programas de aplicación y las actividades de la terminal intactos. La independencia de datos lógica es más difícil de lograr que la independencia física de datos.

• Regla 10: Independencia de la integridad. Las restricciones de integridad se deben especificar por separado de los programas de aplicación y almacenarse en la base de datos. Debe ser posible cambiar esas restricciones sin afectar innecesariamente a las aplicaciones existentes.

• Regla 11: Independencia de la distribución. La distribución de porciones de base de datos en distintas localizaciones debe ser invisible a los usuarios de la base de datos. Los usos existentes deben continuar funcionando con éxito:
  1. cuando una versión distribuida del SGBD se carga por primera vez
  2. cuando los datos existentes se redistribuyen en el sistema.

• Regla 12: La regla de la no subversión. Si el sistema proporciona una interfaz de bajo nivel de registro, aparte de una interfaz relacional, esa interfaz de bajo nivel no debe permitir su utilización para subvertir el sistema. Por ejemplo para sortear las reglas de seguridad relacional o las restricciones de integridad. Esto es debido a sistemas no relacionales previamente existentes se les añadió una interfaz relacional pero, al mantener la interfaz nativa, seguía existiendo la posibilidad de trabajar no relacionalmente.

Nacido en Inglaterra el 23 de agosto de 192, Edgar es considera el padre de las bases de datos relacional.

En 1969 Edgar Codd inventó el modelo relacional, el modelo de bases de datos más usado hoy en día y para muchas personas, el único que conocen. Desde el sistema R de IBM a Oracle han pasado 30 años y aún es el modelo dominante. Inicialmente el apoyo de IBM a los sistemas de bases de datos tradicionales (de redes) era mayoritario, poderoso y agresivo. Sólo años más tarde, en 1978, durante una reunión técnica de alto nivel el modelo relacional llamó la atención del presidente de IBM, Frank Cary. Más tarde IBM anunció SQL/DS, su primer producto relacional comercial en 1981, seguido de DB2 en 1983. Sin embargo esta tardanza en adoptar el modelo relacional significó perder un mercado que tomaron otros. El trabajo inicial de Codd fue publicado en Communications of the ACM en 1970. Su trabajo sobre normalización de bases de datos fue publicado como un informe técnico de IBM en 1971. Ocho años más tarde, en ACM Transactions of Database Systems, publicó varias extensiones al modelo relacional. En 1985 postuló una lista de 13 reglas que debía cumplir un producto de bases de datos para ser llamado relacional.

12 reglas de Codd para base de datos

Codd se percató de que existían bases de datos en el mercado las cuales decían ser relacionales, pero lo único que hacían era guardar la información en las tablas, sin estar estas tablas literalmente normalizadas; entonces éste publicó 12 reglas que un verdadero sistema relacional debería tener aunque en la práctica algunas de ellas son difíciles de realizar. Un sistema podrá considerarse “más relacional” cuanto más siga estas reglas.

–          Regla 0: el sistema debe ser relacional, base de datos y administrador de sistema. Ese sistema debe utilizar sus facilidades relacionales (exclusivamente) para manejar la base de datos.

–          Regla 1: la regla de la información, toda la información en la base de datos es representada unidireccionalmente, por valores en posiciones de las columnas dentro de filas de tablas. Toda la información en una base de datos relacional se representa explícitamente en el nivel lógico exactamente de una manera: con valores en tablas.

–          Regla 2: la regla del acceso garantizado, todos los datos deben ser accesibles sin ambigüedad. Esta regla es esencialmente una nueva exposición del requisito fundamental para las llaves primarias. Dice que cada valor escalar individual en la base de datos debe ser lógicamente direccionable especificando el nombre de la tabla, la columna que lo contiene y la llave primaria.

–          Regla 3: tratamiento sistemático de valores nulos, el sistema de gestión de base de datos debe permitir que haya campos nulos. Debe tener una representación de la “información que falta y de la información inaplicable” que es sistemática, distinto de todos los valores regulares.

–          Regla 4: catálogo dinámico en línea basado en el modelo relacional, el sistema debe soportar un catálogo en línea, el catálogo relacional debe ser accesible a los usuarios autorizados. Es decir, los usuarios deben poder tener acceso a la estructura de la base de datos (catálogo).

–          Regla 5: la regla comprensiva del sublenguaje de los datos, el sistema debe soportar por lo menos un lenguaje relacional que:

• Tenga una sintaxis lineal.
• Puede ser utilizado de manera interactiva.
• Soporte operaciones de definición de datos, operaciones de manipulación de datos (actualización así como la recuperación), seguridad e integridad y operaciones de administración de transacciones.

–          Regla 6: regla de actualización, todas las vistas que son teóricamente actualizables deben ser actualizables por el sistema.

–          Regla 7: alto nivel de inserción, actualización, y cancelación, el sistema debe soportar suministrar datos en el mismo tiempo que se inserte, actualiza o esté borrando. Esto significa que los datos se pueden recuperar de una base de datos relacional en los sistemas construidos de datos de filas múltiples y/o de tablas múltiples.

–          Regla 8: independencia física de los datos, los programas de aplicación y actividades del terminal permanecen inalterados a nivel lógico cuandoquiera que se realicen cambios en las representaciones de almacenamiento o métodos de acceso.

–          Regla 9: independencia lógica de los datos, los cambios al nivel lógico (tablas, columnas, filas, etc.) no deben requerir un cambio a una solicitud basada en la estructura. La independencia de datos lógica es más difícil de lograr que la independencia física de datos.

–          Regla 10: independencia de la integridad, las limitaciones de la integridad se deben especificar por separado de los programas de la aplicación y se almacenan en la base de datos. Debe ser posible cambiar esas limitaciones sin afectar innecesariamente las aplicaciones existentes.

–          Regla 11: independencia de la distribución, la distribución de las porciones de la base de datos a las varias localizaciones debe ser invisible a los usuarios de la base de datos. Los usos existentes deben continuar funcionando con éxito:

• Cuando una versión distribuida del SGBD se introdujo por primera vez
• cuando se distribuyen los datos existentes se redistribuyen en todo el sistema.

–          Regla 12: la regla de la no subversión, si el sistema proporciona una interfaz de bajo nivel de registro, a parte de una interfaz relacional, que esa interfaz de bajo nivel no se pueda utilizar para subvertir el sistema, por ejemplo: sin pasar por seguridad relacional o limitación de integridad. Esto es debido a que existen sistemas anteriormente no relacionales que añadieron una interfaz relacional, pero con la interfaz nativa existe la posibilidad de trabajar no relacionalmente.