operaiones basicas de conjuntos

NOMBRE:

• Pertenencia. La relación relativa a conjuntos más básica es la relación de pertenencia. Dado un elemento x, éste puede o no pertenecer a un conjunto dado A. Esto se indica como:

${\displaystyle x\in A\quad \longrightarrow }$ x pertenece a A.

${\displaystyle x\notin A\quad \longrightarrow }$ x no pertenece a A.

• Igualdad. Dos conjuntos son iguales si y sólo si tienen los mismos elementos. Este principio, denominado principio de extensionalidad establece el hecho de que un conjunto queda definido únicamente por sus elementos

${\displaystyle A=B\quad \longrightarrow }$ A es igual a B.

${\displaystyle A\neq B\quad \longrightarrow }$ A no es igual a B.

• Inclusión. Dado un conjunto A, cualquier subcolección B de sus elementos es un subconjunto de A, y se indica como:

${\displaystyle A\subseteq B\quad \longrightarrow }$A es un subconjunto de B.

${\displaystyle A\nsubseteq B\quad \longrightarrow }$ A no es subconjunto de B.

DEFINICION:

Las operaciones básicas del álgebra de conjuntos son:

• Unión. La unión de dos conjuntos A y B es el conjunto A ∪ B que contiene todos los elementos de A y de B.
• Intersección. La intersección de dos conjuntos A y B es el conjunto A ∩ B que contiene todos los elementos comunes de A y B.
• Diferencia. La diferencia entre dos conjuntos A y B es el conjunto A \ B que contiene todos los elementos de A que no pertenecen a B.
• Diferencia simétrica. La diferencia simétrica entre dos conjuntos A y B es el conjunto que contiene los elementos de A y B que no son comunes.
• Complemento. El complemento de un conjunto A es el conjunto A^∁ que contiene todos los elementos que no pertenecen a A.
• Producto cartesiano. El producto cartesiano de dos conjuntos A y B es el conjunto A × B que contiene todos los pares ordenados (a, b) cuyo primer elemento pertenece a A y su segundo elemento pertenece a B.

 SIMBOLOGIA:

Observa los conjuntos $K$ y $L$ definidos así: $K=\{p,q,r,q,s,r,p\}$ y $L=\{s,r,p,q\}$.

¿Consideras que los conjuntos $K$ y $L$ son iguales?  Antes de contestar esta pregunta necesitas tener criterios para poder responder adecuadamente.

Se dice que dos conjuntos son iguales si tienen exactamente los mismos elementos.  Una forma práctica de establecer si dos conjuntos son iguales es determinar si se contienen el uno al otro.

Por ejemplo, para verificar si los conjuntos $K$ y $L$ de la imagen son iguales debemos verificar si  $K\subseteq L$ y además $L\subseteq K$.

¿Es cierto que cada elemento de $K$ está en $L$, y que cada elemento de $L$ está en $K$?  Como puedes ver la respuesta a esta pregunta es afirmativa, decimos entonces que $K$es igual a $L$ y lo notamos así: $K=L$.

Fíjate que no importó que algunos elementos estuvieran repetidos, o en que orden estuvieran presentados los elementos.  Resultaría igual escribir por ejemplo $\{p,q,r,q,s,r,p\}$ que  $\{r,s,p,q\}$ o que $\{p,r,q,s\}$, es decir: $\{p,q,r,q,s,r,p\}=\{r,s,p,q\}=\{p,r,q,s\}$.

Si se da el caso que dos conjuntos no son iguales usamos el símbolo $\ne$.  De esta manera la expresión $A\ne B$ debe ser leída como “$A$ es diferente a $B$”, o “$A$ y $B$ no son iguales”.