TUPLA, DOMINIO Y ATRIBUTO

TUPLA
En matemáticas, una tupla es una lista ordenada de elementos. Una n-tupla es una secuencia (o lista ordenada) de n elementos, siendo n un número natural (entero no-negativo). La única 0-tupla es la secuencia vacía. Una n-tupla se define inductivamente desde la construcción de un par ordenado. Las tuplas suelen anotarse listando sus elementos entre paréntesis "${\displaystyle ({\text{ }})}$", separados por comas. Por ejemplo, ${\displaystyle (2,7,4,1,7)}$ denota una 5-tupla. En ocasiones se usan otros delimitadores, como los corchetes "${\displaystyle [{\text{ }}]}$" o las angulares "${\displaystyle \langle {\text{ }}\rangle }$". Las tuplas suelen emplearse para describir otros objetos matemáticos, como los vectores. Esto es, una lista con un número limitado de objetos (una secuencia infinita se denomina en matemática como una familia, aunque hay autores que consideran el término tupla para denominar no solo listas finitas). Las tuplas se emplean para describir objetos matemáticos que tienen estructura; es decir, que son capaces de ser descompuestos en un cierto número de componentes. Por ejemplo, un grafo dirigido se puede definir como una tupla de (V, E), donde V es el conjunto de nodos y E es el subconjunto de V × V que denota las aristas del grafo.

El término tupla se generó sencillamente de una generalización de la secuencia siguiente: dupla, tripla, cuádrupla, quíntupla, ... n-tupla. Una tupla de longitud n se describe generalmente como una n-tupla. Una 2-tupla, por ejemplo, se denomina un par o dupla; una 3-tupla una tripla o tripleta (en Hispanoamérica también se usa terna o triada). El prefijo n puede ser por generalización cualquier número entero positivo; se puede, por ejemplo, denominar un cuaternión mediante la representación de una 4-tupla, y continuar generando nombres sucesivamente, tales como una octupla, pero muchos matemáticos prefieren la denominación rápida y sencilla de escribir una "8-tupla" incluso si se pronunciara como "octupla".

Las principales propiedades que distinguen una tupla de, por ejemplo, un conjunto, son que en dicha tupla:

1. Un objeto puede contener internamente (por agregación) a otros objetos.
2. Los objetos aparecen obligatoriamente representados en un orden dado.

Es de notar que la primera de las características distingue de lo que se denomina un multiconjunto y la segunda de los que se denomina un conjunto ordenado. Esto se puede formalizar dando la siguiente regla de identidad para dos n-tuplas:

${\displaystyle (a_{1},a_{2},\ldots ,a_{n})=(b_{1},b_{2},\ldots ,b_{n})\Leftrightarrow a_{1}=b_{1},{\text{ }}a_{2}=b_{2},{\text{ }}\ldots ,{\text{ }}a_{n}=b_{n}}$

Otra forma de formalizar tuplas es mediante asociación biyectiva entre la definición de una tupla y una construcción más primitiva en la teoría de conjuntos tal y como pares ordenados. Por ejemplo, una n-tupla (con n> 2) se puede definir como un par ordenado de su primera entrada y (n−1)-tupla que contenga el resto de las entradas, de tal forma que:

${\displaystyle (a_{1},a_{2},\ldots ,a_{n})=(a_{1},(a_{2},(\ldots ,(a_{n}))))}$

Empleando la definición más corriente dentro de la teoría de conjuntos para un par ordenado y dejando que el conjunto vacío represente la tupla vacía, se puede obtener un resultado correcto empleando una definición por inductiva:

1. La 0-tupla (por ejemplo la tupla vacía) se representa por ${\displaystyle \varnothing }$.
2. Si x es una n-tupla entonces ${\displaystyle \,\{\{a\},\{a,x\}\}}$ es una (n + 1)-tupla.

Empleando esta definición, la 3-tupla ${\displaystyle \,(1,2,2)}$ podría ser:

${\displaystyle \,(1,(2,(2,())))=(1,(2,\{\{2\},\{2,\varnothing \}\}))=(1,\{\{2\},\{2,\{\{2\},\{2,\varnothing \}\}\}\})=\{\{1\},\{1,\{\{2\},\{2,\{\{2\},\{2,\varnothing \}\}\}\}\}\}}$

Existe una similaridad importante aquí con la forma en que se describen objetos en algunos lenguajes informáticos, tales como Lisp en los que generalmente se emplea un par ordenado, y se emplea esta abstracción para iterar todos los elementos de de la estructura del n-tupla, para ello se procede de la siguiente forma:

1. Un símbolo especial, tal y como NIL representa a una lista vacía
2. Si X es una lista y A es un valor arbitrario, entonces el par (A, X) respresenta una lista con la cabecera (es decir el primer elemento) A y la cola (es decir el resto de la estructura) X.

DOMINIO:

En matemáticas, el dominio (conjunto de definición o conjunto de partida) de una función ${\displaystyle f\colon X\to Y\,}$ es el conjunto de existencia de ella misma, es decir, los valores para los cuales la función está definida. Es el conjunto de todos los objetos que puede transformar, se denota ${\displaystyle \operatorname {Dom} _{f}\,}$ o bien ${\displaystyle D_{f}\,}$. En ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ se denomina dominio a un conjunto conexo, abierto y cuyo interior no sea vacío.

Por otra parte, el conjunto de todos los resultados posibles de una función dada se denomina codominio de esa función.

El dominio de definición de una función f:X→Y se define como el conjunto X de todos los elementos x para los cuales la función f asocia algún y perteneciente al conjunto Y de llegada, llamado codominio. Esto, escrito de manera formal:

${\displaystyle D_{f}=\;\left\{x\in X|\exists y\in Y:f(x)=y\right\}}$

 Dadas dos funciones reales:

${\displaystyle f\colon X_{1}\to \mathbb {R} \,\qquad {\mbox{y}}\quad g\colon X_{2}\to \mathbb {R} \,}$

Se tienen las siguientes propiedades:

1. ${\displaystyle D_{(f+g)}=X_{1}\cap X_{2}}$
2. ${\displaystyle D_{(f-g)}=X_{1}\cap X_{2}}$
3. ${\displaystyle D_{(f\cdot g)}\ =X_{1}\cap X_{2}}$
4. ${\displaystyle D_{(f/g)}=\{x\in (X_{1}\cap X_{2})|g(x)\neq 0\}}$

Para el cálculo certero del dominio de una función, se debe introducir el concepto de restricción en el cuerpo real. Estas restricciones ayudarán a identificar la existencia del dominio de una función. Las más usadas son:

Raíz n-ésima de f(x)[editar]

No existe restricción si n es impar, pero si n es par, la función f(x) necesariamente deberá ser mayor o igual que cero, ya que las raíces negativas no están definidas en el cuerpo real. Por ejemplo:

${\displaystyle y={\sqrt {7x-21}}}$

El índice de la raíz es par (2), por tanto ${\displaystyle 7x-21\geq 0}$; despejando, se tiene que x ≥ 3. El dominio entonces será el conjunto de todos los reales en el intervalo [3,+∞).

Logaritmo de f(x)[editar]

La restricción está al estudiar las propiedades de los logaritmos las cuales dicen que estos no están definidos para números negativos, por tanto toda función contenida dentro de un logaritmo debe ser necesariamente mayor estricto de cero. Por ejemplo:

${\displaystyle \log(x^{2}-9)}$

Por la propiedad anteriormente citada, se observa que para que esta función exista, necesariamente ${\displaystyle x^{2}-9>0}$; despejando, se obtienen dos soluciones ${\displaystyle x>3}$ y ${\displaystyle x<-3}$. La unión de ambas soluciones representa el dominio de la función, que está definida como el conjunto (-∞, -3) U (3, +∞).

Fracciones[editar]

Véase también: División por cero

Otras propiedades de las matemáticas pueden ayudar a obtener el dominio de una función y excluir puntos donde esta no esté definida, por ejemplo, una función que tenga forma de fracción no estará definida cuando el denominador valga cero, ya que esto es una indeterminación.

Algunos dominios de funciones reales de variable real:

${\displaystyle f(x)=x^{2}\,\!}$ El dominio de esta función, así como el de cualquier función polinómica y exponencial, es ${\displaystyle \mathbb {R} }$.

${\displaystyle f(x)={\frac {1}{x}}}$ El dominio de esta función es ${\displaystyle \mathbb {R} -\lbrace 0\rbrace }$ puesto que la función no está definida para x = 0.

${\displaystyle f(x)=\log(x)\,\!}$ El dominio de esta función es ${\displaystyle (0,{+}\infty )}$ ya que los logaritmos están definidos sólo para números positivos.

${\displaystyle f(x)={\sqrt {x}}}$ El dominio de esta función es ${\displaystyle \lbrack 0,{+}\infty )}$ porque la raíz de un número negativo no existe en el cuerpo de los reales.

ATRIBUTO:

En filosofía, lógica y matemática, una propiedad es un atributo o cualidad de un objeto. Por ejemplo, la sangre tiene la propiedad de ser roja. Las propiedades también se pueden considerar objetos, y pueden por lo tanto tener otras propiedades. Por ejemplo, el rojo tiene la propiedad de ser un color.

Las propiedades se expresan mediante un concepto universal,¹​ que significan formalmente una clase desde el punto de vista lógico.

Para Mario Bunge la propiedad lógica, lo mismo que individuo, es un concepto primitivo que no admite definición y es la base de la determinación de cualquier y toda cosa; siendo por tanto equivalente a lo elemental de un sistema.²​ Si el sistema es conceptual entonces lo elemental no es individuo sino constructo.³​

En la lógica aristotélica, las propiedades son uno de los modos de relación que puede haber entre el sujeto y el predicado de una proposición según el juiciocategórico aristotélico.

Aristóteles consideró que en el juicio hay cinco modos o κατηγορούμενα que fueron traducidos al latín, predicabilia, y en español predicables.⁴​

Lo propio es lo que sin expresar la esencia de la cosa pertenece a esta cosa sola y puede reciprocicarse con ella

Aristóteles. Top. I,5,102a, 18-30

Por ejemplo, dice Aristóteles: "Si A es un hombre es capaz de aprender la gramática; si es capaz de aprender la gramática A es un hombre".

Añade Aristóteles⁵​ las distintas formas de propiedad:

• Por sí o por siempre. Por ejemplo "reír" respecto al hombre
• Relativamente a otra cosa y por un tiempo: Por ejemplo, "tener un carácter suave"

Porfirio en su Isagoge elabora y desarrolla el tema de los predicables, y define la propiedad como lo que se afirma de la especie de la cual es la propiedad y de los individuos que pertenecen a la especie; y establece respecto a la propiedad cuatro posibles sentidos que se ejemplifican en su aplicación a la especie humana:

• Lo que pertenece accidentalmente a una especie aun sin pertenecer a toda la especie. "Ser gramático".
• Lo que pertenece accidentalmente a la especie entera sin pertenecer a ella sola. "Ser bípedo".
• Lo que pertenece a una sola especie, a toda ella y solo en un momento determinado. "Volverse cano en la vejez".
• Pertenecer a una sola especie, a toda ella y siempre. "Reír".⁶​

La doctrina de Porfirio es la que prevalece en la Escolástica.

Avicena sin embargo da una nueva interpretación a los predicables, porque los considera bajo el punto de vista de un universal que se predica de los particulares o casos concretos.⁷​ Las esencias como seres posibles, "son algo" y la existencia deviene un accidente de la esencia. "Equinitas est equinitas tantum".⁸​ Lo que según Duns Scoto hace necesaria una haecceitas o principio de individuación como principio esencial, que no depende de la materia (materia signata quantitate) como determinaba la escolástica y el mismo Santo Tomás.⁹​¹⁰​

De este modo se suscita la importante polémica acerca de los conceptos universales entre el realismo y el nominalismo.¹¹​