operaiones basicas de conjuntos

NOMBRE:

• Pertenencia. La relación relativa a conjuntos más básica es la relación de pertenencia. Dado un elemento x, éste puede o no pertenecer a un conjunto dado A. Esto se indica como:

${\displaystyle x\in A\quad \longrightarrow }$ x pertenece a A.

${\displaystyle x\notin A\quad \longrightarrow }$ x no pertenece a A.

• Igualdad. Dos conjuntos son iguales si y sólo si tienen los mismos elementos. Este principio, denominado principio de extensionalidad establece el hecho de que un conjunto queda definido únicamente por sus elementos

${\displaystyle A=B\quad \longrightarrow }$ A es igual a B.

${\displaystyle A\neq B\quad \longrightarrow }$ A no es igual a B.

• Inclusión. Dado un conjunto A, cualquier subcolección B de sus elementos es un subconjunto de A, y se indica como:

${\displaystyle A\subseteq B\quad \longrightarrow }$A es un subconjunto de B.

${\displaystyle A\nsubseteq B\quad \longrightarrow }$ A no es subconjunto de B.

DEFINICION:

Las operaciones básicas del álgebra de conjuntos son:

• Unión. La unión de dos conjuntos A y B es el conjunto A ∪ B que contiene todos los elementos de A y de B.
• Intersección. La intersección de dos conjuntos A y B es el conjunto A ∩ B que contiene todos los elementos comunes de A y B.
• Diferencia. La diferencia entre dos conjuntos A y B es el conjunto A \ B que contiene todos los elementos de A que no pertenecen a B.
• Diferencia simétrica. La diferencia simétrica entre dos conjuntos A y B es el conjunto que contiene los elementos de A y B que no son comunes.
• Complemento. El complemento de un conjunto A es el conjunto A^∁ que contiene todos los elementos que no pertenecen a A.
• Producto cartesiano. El producto cartesiano de dos conjuntos A y B es el conjunto A × B que contiene todos los pares ordenados (a, b) cuyo primer elemento pertenece a A y su segundo elemento pertenece a B.

 SIMBOLOGIA:

Observa los conjuntos $K$ y $L$ definidos así: $K=\{p,q,r,q,s,r,p\}$ y $L=\{s,r,p,q\}$.

¿Consideras que los conjuntos $K$ y $L$ son iguales?  Antes de contestar esta pregunta necesitas tener criterios para poder responder adecuadamente.

Se dice que dos conjuntos son iguales si tienen exactamente los mismos elementos.  Una forma práctica de establecer si dos conjuntos son iguales es determinar si se contienen el uno al otro.

Por ejemplo, para verificar si los conjuntos $K$ y $L$ de la imagen son iguales debemos verificar si  $K\subseteq L$ y además $L\subseteq K$.

¿Es cierto que cada elemento de $K$ está en $L$, y que cada elemento de $L$ está en $K$?  Como puedes ver la respuesta a esta pregunta es afirmativa, decimos entonces que $K$es igual a $L$ y lo notamos así: $K=L$.

Fíjate que no importó que algunos elementos estuvieran repetidos, o en que orden estuvieran presentados los elementos.  Resultaría igual escribir por ejemplo $\{p,q,r,q,s,r,p\}$ que  $\{r,s,p,q\}$ o que $\{p,r,q,s\}$, es decir: $\{p,q,r,q,s,r,p\}=\{r,s,p,q\}=\{p,r,q,s\}$.

Si se da el caso que dos conjuntos no son iguales usamos el símbolo $\ne$.  De esta manera la expresión $A\ne B$ debe ser leída como “$A$ es diferente a $B$”, o “$A$ y $B$ no son iguales”.

ejemplos de diagrama de venn

Los diagramas de Venn son una forma para representar gráficamente conjuntos , subconjuntos , intersecciones , y uniones . Estos son llamados así en honor de John Venn, que los comenzó a usar en 1880.

Suponga que R es el conjunto de todos los reptiles, S es el conjunto de todas las criaturas que viven en el mar, y M es el conjunto de todos los mamíferos. Obtenemos el diagrama de Venn:

La región marcada R  S es la intersección de R y S ; el conjunto de reptiles que viven en el mar. Similarmente S  M es el conjunto de mamíferos que viven en el mar. Ya que no hay tal cosa como un animal que es tanto reptil como mamífero, la intersección R  M está vacía (las regiones R y M no se cruzan una con otra).

Enseguida mostramos algunos ejemplos de animales en cada categoría del diagrama de Venn.

Para otro ejemplo, digamos que A = {1, 2, 3, 4, 5}, B = {2, 3}, C = {3, 4}, D = {5, 6}. Un diagrama de Venn para esta situación se vería así:

diagrama de venn

                ¿Que es un diagrama de venn?

Los diagramas de Venn se usan para mostrar gráficamente la agrupación de elementos en conjuntos, representando cada conjunto mediante un círculo o un óvalo. Nosotros vamos a ver y a estudiar ejemplos con 2 conjuntos: el conjunto A y el conjunto B.

Estos dos conjuntos muestran 2 elementos que no pueden tener nada en común.

Por ejemplo, el conjunto A son cuadrados amarillos y el conjunto B son cuadrados verdes. El diagrama de Venn quedaría de la siguiente manera:

Hay otro tipo de diagrama de Venn, que son los que tienen una zona en común entre los conjuntos A y B, y esta zona se llama intersección (inter).
Por ejemplo, el conjunto A son cuadrados y el conjunto B son figuras verdes. El diagrama quedaría de la siguiente manera:

En la zona rosa (a) están los cuadrados.
En la zona azul (b) están las figuras verdes.
En la zona amarilla (inter) están los cuadrados que son verdes.

Vamos a ver otro ejemplo de los que aparecen en la sección de lógica de Smartick:

Vamos a analizar los datos del enunciado:

5 personas tienen perros en casa pero no quiere decir que solo tengan perros, por lo tanto el conjunto A vale 5.
2 personas tienen gatos en casa, por lo tanto el conjunto B vale 2.
2 personas tienen tanto perros como gatos, entonces inter vale 2.

Nos están preguntando sobre las personas que solo tienen perros, y este dato es el de la zona a.

Ponemos 2 bolitas en la zona inter, que son los que tienen tanto perros como gatos.

Si 5 personas tienen perros, y ya sabemos que 2 tienen tanto perros como gatos, podemos hacer la resta para saber los que solo tienen perros: a = 5-2 = 3

definiciones de conjunto

Los diversos polígonos en la imagen constituyen un conjunto. Algunos de los elementos del conjunto, además de ser polígonos son regulares. La colección de estos últimos —los polígonos regulares en la imagen— es otro conjunto, en particular, un subconjunto del primero.

En matemáticas, un conjunto es una colección de elementos considerada en sí misma como un objeto. Los elementos de un conjunto, pueden ser las siguientes:personas,números, colores, letras,figuras, etc. Se dice que un elemento (o miembro) pertenece al conjunto si está definido como incluido de algún modo dentro de él.

Ejemplo: el conjunto de los colores del arcoiris es:

AI = {Rojo, Naranja, Amarillo, Verde, Azul, Añil, Violeta}

Un conjunto suele definirse mediante una propiedad que todos sus elementos poseen. Por ejemplo, para los números naturales, si se considera la propiedad de ser un número primo, el conjunto de los números primos es:

P = {2, 3, 5, 7, 11, 13, ...}

Un conjunto queda definido únicamente por sus miembros y por nada más. En particular, un conjunto puede escribirse como una lista de elementos, pero cambiar el orden de dicha lista o añadir elementos repetidos no define un conjunto nuevo. Por ejemplo:

S = {Lunes, Martes, Miércoles, Jueves, Viernes} = {Martes, Viernes, Jueves, Lunes, Miércoles}

AI = {Rojo, Naranja, Amarillo, Verde, Azul, Añil, Violeta} = {Amarillo, Naranja, Rojo, Verde, Violeta, Añil, Azul}

Los conjuntos pueden ser finitos o infinitos. El conjunto de los números naturales es infinito, pero el conjunto de los planetas en el Sistema Solar es finito (tiene ocho elementos). Además, los conjuntos pueden combinarse mediante operaciones, de manera similar a las operaciones con números.

Los conjuntos son un concepto primitivo, en el sentido de que no es posible definirlos en términos de nociones más elementales, por lo que su estudio puede realizarse de manera informal, apelando a la intuición y a la lógica. Por otro lado, son el concepto fundamental de la matemática: mediante ellos puede formularse el resto de objetos matemáticos, como los números y las funciones, entre otros. Su estudio detallado requiere pues la introducción de axiomas y conduce a la teoría de conjuntos.